Untitled Course对称组和墙纸

有些形状具有多个对称性-让我们以一个简单的例子来看一下正方形 。

上面已经显示了一个正方形具有个反射轴。

它还具有°， °和°的旋转对称性。

最后，我们可以将“什么都不做”考虑为另一种特殊的对称性-因为结果（显然）与以前相同。有时称为身份 。

总共，我们发现了不同的“正方形的对称性”。

现在，我们实际上可以开始对这些对称性进行一些算术运算。例如，我们可以添加两个对称以获得新的对称：

+=

+=

只要添加一个正方形的两个对称，就可以得到一个新的对称。这是一个“对称计算器”，您可以自己尝试：

+

=

×

+

+

+

+

+

+

+

+

花一些时间玩对称计算器，然后尝试找到任何模式。你能完成这些观察吗？

*增加两个旋转将始终产生一个旋转反思 （或身份）。 *添加两个反射将始终旋转反思 （或身份）。 *以相反的顺序添加相同的两个对称有时会产生不同的结果总是给与众不同总是给出相同的结果。 *添加身份不会做任何事情返回反射返回相反 。

您可能已经意识到添加对称实际上与添加非常相似整数 ：

1. 把两个对称变换/整数相加，结果仍然是一个对称变换/整数：
   +=
   12+7=19
   继续
2. 对称变换/整数的相加满足结合律：
   ++=++
   4+2+5=4+2+5
   继续
3. 每个对称变换/整数都有一个逆元素；与它相加后，得到单位元素：
   +=
   4+–4=0
   继续

在数学中，具有这些属性的任何集合都称为group 。一些团体（例如正方形的对称性 ）只有有限数量的元素。其他人（例如整数 ）是无限的。

在此示例中，我们从正方形的八个对称开始。实际上，每个几何形状都有自己的对称组 。它们都有不同的元素，但是它们始终满足上述三个规则。

组在数学中无处不在。元素可以是数字或对称性，也可以是多项式，置换，矩阵，函数…… 任何符合这三个规则的东西。 小组理论的关键思想是，我们对单个元素不感兴趣，而对它们之间如何相互作用不感兴趣。

例如，不同分子的对称基团可以帮助科学家预测和解释相应材料的特性。

小组还可以用来分析棋盘游戏的制胜策略，药物中的病毒行为，音乐中的不同谐调以及许多其他概念……

CCl ₄分子（左）和腺病毒（右）的特性由它们的对称性决定。

墙纸组

在前面的部分中，我们看到了与两种不同的变换相对应的两种不同的对称性：旋转和反射。但是，第三种刚性转换也具有对称性： 翻译旋转翻转 。

平移对称性不适用于花朵或蝴蝶等孤立的对象，但适用于延伸到各个方向的规则模式：

六角形蜂窝

陶瓷墙地砖

除了反射，旋转和平移对称性之外，还有第四种类型： 滑行反射 。这是反射和沿与反射轴相同的方向平移的组合。

图案可以具有不止一种类型的对称性。就像正方形一样，我们可以找到模式的对称组 ，其中包含所有不同的对称性。

这些小组并没有告诉您有关图案的外观 （例如颜色和形状）的更多信息，而只是告诉您如何重复图案。多个不同的模式可以具有相同的对称组-只要以相同的方式排列和重复该模式即可。

这两种模式具有相同的对称性，即使它们看起来非常不同。但是对称性与颜色或表面形状无关。

这两种模式也具有相同的对称性-即使它们看起来更类似于左侧的对应模式，而不是彼此相似。

事实证明，尽管存在无限多种可能的模式，但它们都只有17个不同的对称组之一。这些称为墙纸组 。每个墙纸组均由平移，旋转，反射和滑动反射的组合定义。您可以在这些示例中看到旋转中心和反射轴吗？

第1组 · P1：仅含平移

第2组 · P2：二重旋转与平移

第3组 · P3：三重旋转（120°）与平移

第4组 · P4：四重旋转（90°）与平移

第5组 · P6：二重、三重、六重旋转与平移

第6组 · PM：平行的反射轴与平移

第7组 · PMM：互相垂直的反射、二重旋转与平移

第8组 · P4M：二重和四重旋转、反射、滑移反射与平移

第9组 · P6M：二重和六重旋转、反射、滑移反射与平移

第10组 · P3M1：三重旋转、反射、滑移反射与平移

第11组 · P31M：三重旋转、反射、滑移反射与平移

第12组 · P4G：二重和四重旋转、反射、滑移反射与平移

第13组 · CMM：互相垂直的反射、二重旋转与平移

第14组 · PMG：反射、滑移反射、二重旋转与平移

第15组 · PG：平行的滑移反射与平移

第16组 · CM：反射、滑移反射与平移

第17组 · PGG：互相垂直的滑移反射、二重旋转与平移

不幸的是，没有简单的理由说明为什么有17个这样的小组，要证明这一点需要更高级的数学。相反，您可以尝试为17个壁纸组的每一个绘制自己的重复图案：

其他同学的绘图示例