Untitled Course对称组和墙纸
有些形状具有多个对称性-让我们以一个简单的例子来看一下
上面已经显示了一个正方形具有
它还具有
最后，我们可以将“什么都不做”考虑为另一种特殊的对称性-因为结果（显然）与以前相同。有时称为__身份__ 。
总共，我们发现了
现在，我们实际上可以开始对这些对称性进行一些算术运算。例如，我们可以_添加_两个对称以获得新的对称：
只要添加一个正方形的两个对称，就可以得到一个新的对称。这是一个“对称计算器”，您可以自己尝试：
花一些时间玩对称计算器，然后尝试找到任何模式。你能完成这些观察吗？
*增加两个旋转将始终产生
您可能已经意识到添加__{.orange}对称__实际上与添加非常相似__{.green}整数__ ：
- 把两个对称变换/整数相加，结果仍然是一个对称变换/整数：
+ = 12 + 7 = 19 - 对称变换/整数的相加满足
结合律 ：+ + = + + 4 + 2 + 5 = 4 + 2 + 5 - 每个对称变换/整数都有一个逆元素；与它相加后，得到单位元素：
+ = 4 + –4 = 0
在数学中，具有这些属性的任何集合都称为
在此示例中，我们从正方形的八个对称开始。实际上，每个几何形状都有自己的__对称组__ 。它们都有不同的元素，但是它们始终满足上述三个规则。
组在数学中无处不在。元素可以是数字或对称性，也可以是多项式，置换，矩阵，函数…… _任何_符合这三个规则的东西。 _小组理论_的关键思想是，我们对单个元素不感兴趣，而对_它们之间如何相互作用_不感兴趣。
例如，不同分子的对称基团可以帮助科学家预测和解释相应材料的特性。
小组还可以用来分析棋盘游戏的制胜策略，药物中的病毒行为，音乐中的不同谐调以及许多其他概念……
CCl 4分子（左）和腺病毒（右）的特性由它们的对称性决定。
墙纸组
在前面的部分中，我们看到了与两种不同的变换相对应的两种不同的对称性：旋转和反射。但是，第三种刚性转换也具有对称性：
六角形蜂窝
陶瓷墙地砖
除了反射，旋转和平移对称性之外，还有第四种类型：
图案可以具有不止一种类型的对称性。就像正方形一样，我们可以找到模式的
这些小组并没有告诉您有关图案的_外观_ （例如颜色和形状）的更多信息，而只是告诉您如何_重复_图案。多个不同的模式可以具有相同的对称组-只要以相同的方式排列和重复该模式即可。
这两种模式具有相同的对称性，即使它们看起来非常不同。但是对称性与颜色或表面形状无关。
这两种模式也具有相同的对称性-即使它们看起来更类似于左侧的对应模式，而不是彼此相似。
事实证明，尽管存在无限多种可能的模式，但它们都只有17个不同的对称组之一。这些称为__墙纸组__ 。每个墙纸组均由平移，旋转，反射和滑动反射的组合定义。您可以在这些示例中看到
第1组 · P1：仅含平移
第2组 · P2：二重旋转与平移
第3组 · P3：三重旋转（120°）与平移
第4组 · P4：四重旋转（90°）与平移
第5组 · P6：二重、三重、六重旋转与平移
第6组 · PM：平行的反射轴与平移
第7组 · PMM：互相垂直的反射、二重旋转与平移
第8组 · P4M：二重和四重旋转、反射、滑移反射与平移
第9组 · P6M：二重和六重旋转、反射、滑移反射与平移
第10组 · P3M1：三重旋转、反射、滑移反射与平移
第11组 · P31M：三重旋转、反射、滑移反射与平移
第12组 · P4G：二重和四重旋转、反射、滑移反射与平移
第13组 · CMM：互相垂直的反射、二重旋转与平移
第14组 · PMG：反射、滑移反射、二重旋转与平移
第15组 · PG：平行的滑移反射与平移
第16组 · CM：反射、滑移反射与平移
第17组 · PGG：互相垂直的滑移反射、二重旋转与平移
不幸的是，没有简单的理由说明为什么有_17_个这样的小组，要证明这一点需要更高级的数学。相反，您可以尝试为17个壁纸组的每一个绘制自己的重复图案：
其他同学的绘图示例
墙纸组都是关于平面二维图案的。我们可以对三维图案进行类似的处理：这些称为晶体学群，其中有219个！
除了平移，反射，旋转和滑行反射之外，这些组还包括__滑行平面__和__螺旋轴之__类的对称性（拧开瓶子时请考虑一下运动）。
氮化硼的分子排列在具有三维对称基团的该晶格中。